设A、P都是n级实矩阵,且P可逆。证明:

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

设n×r(r＜n)实矩阵A的秩为r，证明：存在n×(n-r)实矩阵B，使得[A，B]为n阶可逆方阵.

设矩阵A=(a_ij)_n×n可逆的对称实矩阵. 证明: 二次型

如图所示，设

是一个n级对称矩阵,且Ar是r级可逆矩阵。证明:

并且求出B。

设A是sXn矩阵。证明:

(1) A是列满秩矩阵当且仅当存在s级可逆矩阵P,使得

(2) A是行满秩矩阵当且仅当存在n级可逆矩阵Q,使得

A=(1,0)Q.

1)设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是上三角形矩阵：

ii＞0(i=1，2，...，n)，并证明这个分解是唯一的;

2)设A是n级正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵T，使A=T'T。

令

证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得P^TAP=B。

设A,B分别是的实矩阵，证明当且仅当AB=0.