设V是复数域上一个n维向量空间,S是V的某些线性变换所成的集合,而φ是V的一个线性变换,并且φ与S中每一线性变换可交换。证明如果S不可约,那么φ一定是一个位似[Schur引理]。
设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换,它关于V的一个基的矩阵是
求出σ的若尔当分解。
设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:
1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。
设V是复数域上的n维线性空间,T1,T2是V上的线性变换,且T1T2=T2,T1,证明: (1)如果λ0是T1的特征值,则Vλ0是T2的不变子空间; (2)T1,T2至少有一个公共的特征向量.
设是数域P上n维线性空间V的线性变换,且在V的一组基下的矩阵是A,那么可逆当且仅当()。
A、是双射。
B、A是可逆矩阵。
C、线性无关。
D、对于V的任意n个向量,都有线性无关。
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