试求微分方程（x-1)2y"+（x-1)y"+y'=1的通解．

已知微分方程

(x²-1)y"-2xy'+2y=0 ①

与微分方程 2yy"-y'²=0 ②

都有解y₁=(x-1)²与y₂=(x+1)²，问这两个函数的任意线性组合y=C₁y₁+C₂y₂是否仍为方程①与方程②的解．

已知y₁=x²，y₂=x+x²，y₃=x²+e^x都是微分方程

(x-1)y''-xy'+y=-x²+2x-2

的特解，求此方程的通解。

设

试求 ∫₀³xf(x-1)dx．

求下列可分离变量型方程的通解或特解：

(1)2xy²dx-dy=0;

(2)y'=e^x√(1-y²);

(3)3y²y'=(1+y³)cosx;

(4)(x+1)y'=2y，y(1)=1;

(5)2(y-1)y'=e^x，y(0)=-2;

(6)dx+2y(x-1)dy=0，y(2)=0。

其中+,●为普通加法和乘法,-x表示求x^-1的相反数,x^-1

表示x的倒数,试做出V₁到V₂的一个同态映射.

试求微分方程2y(y'-1)-xy'²=0的奇解．

试求由抛物线(y-2)²=x-1和抛物线相切于纵坐标y₀=3处的切线以及z轴所围成图形的面积．