设[图]与[图]为线性空间X上的两个等价范数,则[图]与[...
设与为线性空间X上的两个等价范数,则与都是Banach空间.
设与为线性空间X上的两个等价范数,则与都是Banach空间.
设X是区间[a,b]上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间,对于x∈X定义‖x‖=|x(t)|;证明‖·‖与‖·‖1是X上两个不等价的范数.
设X在两个范数‖·‖1和‖·‖2下均为Banach空间。证明若存在α>0使得对每个x∈X有|x‖1≤α‖x‖2,则存在β>0使得对每个x∈x有‖x‖2≤β‖x‖1,即‖·‖1和‖·‖2等价。
设X和Y都是Banach空间。证明乘积空间X×Y,赋有范数
‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖, (x,y)∈X×Y,
是Banach空间。
设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间,F:Z→Y是线性映射,它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z,设
‖z‖F=(‖z‖2+‖F(z)‖2)1/2
证明Z在这个范数下是Banach空间且F∈BL(z,Y)[‖·‖F称为F的图范数。]
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