设G_{1<／sub>,G2<／sub>是两个群.证明:若,则再举例指出反之不成立.}

设，证明若收敛，则收敛。

设E是赋范空间X的子集，证明若spanE≠X，则E的内部E⁰是空的。再证明若X是R上的有限维赋范空间，E是X的凸子集且0∈E，则spanE=X当且仅当E⁰是非空的。

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设X和Y是赋范空间，x≠{0}。证明若BL(X，Y)是Banach空间，则Y是Banach空间。

设f₁和f₂是线性空间X上的两个线性泛函。证明若它们有相同的零空间，则存在非零常数k使得对所有x∈X有f₂(x)=kf₁(x)

设X在两个范数‖·‖₁和‖·‖₂下均为Banach空间。证明若存在α＞0使得对每个x∈X有|x‖₁≤α‖x‖₂，则存在β＞0使得对每个x∈x有‖x‖₂≤β‖x‖₁，即‖·‖₁和‖·‖₂等价。

设R是个二元关系，S={(a，b)}对于某一c，有(a，c)∈R∧(c，b)∈R}，证明若R是一个等价关系，则S也是一个等价关系．

设R是一个二元关系，S={(a，b)|对于某-c，有(a，c)∈R且(c，b)∈R}，证明若R是一个等价关系，则S也是一个等价关系．

设X，Y是赋范空间，F∈BL(X，Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集，则F是满射。

设X是赋范空间。若x_n∈X且∑‖x_n‖＜∞，则称级数∑x_n是绝对收敛的。证明若X是Banach空间，则每个绝对收敛的级数都在X中收敛。