题目内容
（请给出正确答案）
证明拓扑空间族
的积空间
正则或完全正则空间,则每一坐标空间相应地为具有同一性质的空间.
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记实数集合R的通常拓扑为
令
证明:
(1)
是实数集合R的一一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个Hausdorff空间;
(3)拓扑空间
不是正则空间,也不是正规空间.
设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得
,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.
(两个
空间的积空间不为
空间的例子.)
(1) 证明实数的下限拓扑空间
为
空间.
(2) 记
为两实数下限拓扑空间的积空间,证明
不为
空间.
证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间
是两个实数下限拓扑空间R,(参见例 2. 6.1)的积空间.
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:
(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;
(2)积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间X1x(X2xX3);
(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X1xY同胚于X1;
(4)如果X≠Ф并且积空间X1xX2同胚于积空间X1xX3,则X2同胚于X3.
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