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提问人:网友anonymity 发布时间:2022-01-06
[主观题]

试将[0,1]表成两个互不相交的可测集A,B之并集,使得对[0,1]中任一区间I,均有 m(A∩I)>0,m(B∩I)>0.

试将[0,1]表成两个互不相交的可测集A,B之并集,使得对[0,1]中任一区间I,均有

m(A∩I)>0,m(B∩I)>0.

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第1题
设0<δ≤1以及区间[a,b],试证明存在[a,b]中稠密开集G,使得m(G)=δ(b-a).
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第2题
试证明[0,1]中存在非空完全集Cp,使得G=[0,1]\Cp是开集...

试证明[0,1]中存在非空完全集Cp,使得G=[0,1]\Cp是开集,且m(G)=1/(p-2)=δ>0(或p=(1+2δ)/δ),其中Cp无内点.(也称Cp为类Cantor集或Harnack集)

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第3题
试证明:

设μ*是定义在Rn上的一种外测度,若任一Borel集都是μ*可测集,则μ*是距离外测度.

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第4题
试证明:

设α>2,作R1中点集:

E={x:存在无限个分数p/q,p与q是互素的自然数,

使得|x-p/q|<1/qα},

则m(E)=0.

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第5题

将(0,1)中的点用十进位小数展开,令表示式中不超过9个数字的点的全体为E,求m(Ej)以及m(E).

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第6题
在[0,1]中作点集

E={x∈[0,1]:在十进位小数表示式x=0.a1a2…中的所有ai都不出现10个数字中的某一个},

试证明E是不可数集,且m(E)=0.

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第7题
将(0,1)中的数用十进位小数展开,在表示式中总有数字“0”出现的数的全体为E,求m(E).
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第8题
将(0,1)中的数用十进位小数展开,求下列点集E之测度m(E).

(i)在指定小数位置上是数字4的点之全体E.

(ii)在指定两个小数位置上都是已给定的数字之全体E.

(iii)在两个指定小数位置上是不同的数字之全体E.

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第9题
试证明:

试作[0,1]中的第二纲集E:m(E)=0.

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第10题
试证明:

设A,B,C是Rn中的可测集.若有m(A△B)=0,m(B△C)=0,则m(A△C)=0.

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