请用矩阵的形式表示: (1)线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=b; (2)线性方程组 设矩阵A为n阶方阵,则下
设矩阵A为n阶方阵,则下述说法之间的关系如何? (1)A为可逆矩阵; (2)A为满秩矩阵; (3)A为非奇异矩阵; (4)|A|≠0。
设矩阵A为n阶方阵,则下述说法之间的关系如何? (1)A为可逆矩阵; (2)A为满秩矩阵; (3)A为非奇异矩阵; (4)|A|≠0。
设x1(t),x2(t),…,xn+1(t)是非齐次线性方程
x(n)(t)+a1(t)x(n-1)(t)+…+an(t)x(t)=f(t) ①
的在区间[a,b]上的n+1个线性无关的解,则方程①在区间[a,b]上的任何解x(t)都可以表示为
x(t)=C1x1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(t)+Cn+1xn+1(t),
其中 C1+C2+…+Cn+Cn+1=1
反过来,若x1,x2,…,xn,xn+1是①在区间[a,b]上的n+1个线性无关的解,则C1x1+C2x2+…+Cn+1xn+1必为①在区间[a,b]上的解,其中C1+C2+…+Cn+Cn+1=1
设A是一个nxn矩阵,都是nx1矩阵,用记号表示以β代替A的第i列后所得到的nxn矩阵。
(i)证明线性方程组Aξ=β可以改写成I是n阶单位矩阵。
(ii)当detA≠0时,对(i)中的矩阵等式两端取行列式,证明克拉默法则。
解 第二组的4道题.
(1)讨论矩阵的秩.
(2)讨论方程组a, b取何值时无解,有解?有解时何时有惟一解,何时有无穷多个解?且写出这些解.
(3)设a1,a2, a3,a4如第一组第(4)题所设, β=[1, 3, b, 3]T.问a,b取何值时,β不能经a1,a2, a3,a4线性表示: a,b取何值时,β能经a1,a2, a3,a4线性表示,进而何时表法惟一? 何时表法无穷?且写出这些表示式.
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