设是格，任取a∈L，令S={x|x∈L∧x≤a}。证明：是L的子格.

设＜L,≤＞是格。任取a∈L.令

证明＜S,≤＞是＜L,≤＞的子格，

设E是赋范线性空间，L是E的闭子空间．在中令

证明：按照‖·‖是赋范线性空间。若E可分，则也可分．任取x∈ξ，证明‖ξ‖=d(x，L)，这里d(x，L)表示x与L的距离。

设(A，≤)是一个格，任取a、b，且a＜b，构造集合B={x|x∈A且a≤x≤b}，证明：(B，≤)也是一个格．

设f(x)对于(-∞，+∞)内的任意两点x，y，恒有

|f(x)-f(y)|≤q|x-y|，其中0＜q＜1，任取x₀∈(-∞，+∞)，令x_n=f(x_n-1)(n=1，2，…)。证明存在，且f(x^*)=x^*。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可微分且|f(x)|≤a＜1.任取一点x₀∈(-∞,+∞),并令

证明必有极限

称ξ为方程x=f(x)的不动点.

设K(t，s)是a≤t≤b，a≤s≤b上的可测函数，∫_a^b|K(t,s)|dt对[a，b]上几乎所有的S存在，且作为S的函数是本性有界的。令

y=Tx:y(t)=∫_a^bK(t，s)x(s)dt

则T是L[a，b]到其自身的有界线性算子，且

设＜ L, ≤＞是模格, x,y,a∈L,且x,y分别覆盖a,证明覆盖x和y。