设为拓扑空间族的积空间.证明:若对于每γєГ,X_y有子基则 是积拓

设为拓扑空间族的积空间,并且对于每一γ∈Г,确定了x_y,的子集Y_y.证明:

设为拓扑空间族的积空间,Г₁为Г的非空子集.定义使得对于每一满足条件:对于任一证明:Pr₁为在上的连续开映射.

证明拓扑空间族的积空间正则或完全正则空间,则每一坐标空间相应地为具有同一性质的空间.

设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔离的子集,则为连通子集.

并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

设X和Y是赋范空间，x≠{0}。证明若BL(X，Y)是Banach空间，则Y是Banach空间。

设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基

的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.

设为非空集合X的两个拓扑,且证明若为连通空间则也是连通空间.