设R(x)是[0，1]上的Riemann函数。证明R(x)是[0，1]上的可测函数。

试证明：

设f∈R([0，1])且有a≤f(x)≤b，g∈C([a，b])，则g[f(x)]在[0，1]上Riemann可积，但反之则不一定．

试证明：

设f∈R([0，1])，则f(x²)在[0，1]上Riemann可积．

设A{x|x∈R∧x≠0，1}，在A上定义6个函数如下：

令F为这6个函数构成的集合，运算为函数的复合运算。

(1)给出运算的运算表。

(2)验证是一个群。

设A={x|x属于R 且 x不等于0,1},在A上定义6个函数如下：f1(x)=x,

f2(x)=1/x,f3(x)=1-x,f4(x)=1/(1-x),f5(x)=(x-1)/x,f6(x)=x/x-1,

令F={fi|i=1,2,...6},函数的复合o是F上的二元运算.

求o的运算表

设A={xlx∈R∧x=0,1}.在A上定义六个函数如下:

令F为这6个函数构成的集合,o运算为函数的复合运算.

(1)给出o运算的运算表.

(2)验证(F,o)是一个群.

试证明：

设f(x)是[a，b]上的有界函数，其不连续点集记为D.若D只有可列个极限点，则f(x)是[a，b]上的Riemann可积函数．

设A={x|x∈R∧x≠0，1}。在A上定义6个函数如下：

V=＜S，°＞，其中S={f₁，f₂，...，f₆}，°为函数的复合.。

(1)给出V的运算表。

(2)说明V的幺元和所有可逆元素的逆元：

设f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)-f(1)=0.试证对于实数c(0＜r＜1),必存在一点使f(0)= f(x₀+c).

f：A→B导出的A上的等价关系R定义如下：R={〈x，y〉|x，y∈A且f(x)=f(y)}．设f₁，f₂，f₃，f₄∈N^N，且

f₁(n)=n∈N

f2(n)=1 n为奇数；f₂(n)=0，n为偶数

f₃(n)=j n=3k+j，j=0，1，2，k∈N

f₄(n)=j n=6k+j，j=0，1，…，5，k∈NR_i为f_i导出的等价关系，i=1，2，3，4．

设随机变量X～R(0,1)，Y～R(1，3)，且X与Y相互独立，求E(XY)和D(XY)．