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设X是n维向量空间,在X中取一组基
是nxn矩阵,作X到X中算子如下:当
若规定定向量的范数为
证明上述算子的范数满足
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设X，Y为赋范空间，且X为无穷维的。设F：X→Y为线性算子且下有界，即存在α＞0使得
α‖x‖≤‖F(x)‖， x∈X (1)
求证：F不为紧算子。由此推出无穷维赋范空间上的恒等算子不为紧算子。
设X和Y为Hilbert空间,A是X到Y中的有界线性算子,
分别表示算子A的零空间和值域,证明
设X为赋范空间，A∈BL(X)，{xn}为X的有界列使得{Axn-xn}在X中收敛。求证：若对某个m≥1，Am为紧算子，则{xn}有收敛子列。
设X和Y是两个Banach空间，T：X→Y是有界线性算子，若T(X)不是第一纲的，证明T(X)=Y．
设T是Hilbert空间H上的有界线性算子，‖T‖≤1．证明：
{x：Tx=x}={x：T*x=x}．
设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{xn}为X中序列使得xn→0且{F(xn)}为柯西列，则在Y中必有F(xn)→0。求证：F∈BL(X，Y)
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