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设{αn}是有界数列，在l中定义算子T:x→y，其中
x={ξn}， y={αnξn}
证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
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(1)M是有界的；
(2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{Tn}，使得在M上一致地有
‖Tnx-x‖→0 (x∈M)
在lp(1≤P＜∞)中定义算子如下：y=Tx，其中
x={ξ1，ξ2，ξ3，…}， y={ξ2，ξ3，…}
证明：ρ(T)由满足|λ|＞1的一切点λ组成，T的特征值由满足|λ|＜1的一切点λ组成，对于|λ|=1，λI-T是单映射。
试求下列定义于lp上的有界线性算子的伴随算子：
(1)T{x1，x2，…)={0，x1，x2，…}；
(2)T{x1，x2，…}={α1x1，α2x2，…)，其中{αk}是有界数列；
(3)T{x1，x2，…}={x1，x2，…，xn，0，…}，其中n是给定的自然数；
(4)T{x1，x2，…}={αnxn，αn+1xn+1，…)，其中{αk}(k≥n)是有界数列，n是给定的自然数。
试求下列定义于L2[0，1]上的算子之伴随算子：
(1)(Tx)(t)=∫0ts(x)ds；
(2)(Tx)(t)=α(t)x(t)(α为[0，1]上的连续函数)
在l上定义算子T如下：y=Tx，其中
x={ξn}，y={ηn}；η1=0，ηk=-ξk-1(k≥2)
证明：T没有特征值ρ(T)由一切满足|λ|＞1的点组成，且
‖R(λ，T)‖=(λ-1)-1
设{fn}是巴拿赫空间E的对偶空间E*中的点列，则∑n=1∞|fn(x)|对每个x∈E收敛的充要条件是对每个F∈E**，
∑n=1∞|F(fn)|＜∞
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