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提问人：网友anonymity
发布时间：2022-01-06
[主观题]
设f（x)是R1上实函数，映任一开集为开集，问f是否连续？又连续映射是否映开集为开集？
设f(x)是R1上实函数，映任一开集为开集，问f是否连续？又连续映射是否映开集为开集？
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设f(x)是定义在R1上只取整数值的函数。试证：它的连续点集为开集，不连续点集为闭集。
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第2题
试证明： 设定义在R2上的二元函数f（x，y)满足： （i)任意固定y0∈R1，f（x，y0)是R1上的连续函数； （ii)任意固定x
试证明：
设定义在R2上的二元函数f(x，y)满足：
(i)任意固定y0∈R1，f(x，y0)是R1上的连续函数；
(ii)任意固定x0∈R1，f(x0，y)是R1上的连续函数；
(iii)对R2中的任一紧集K，f(K)是R1中的紧集，则f∈C(R2)．
第3题
试证明： 设f（x)是R1上的实值可测函数，F（x，y)是R2上的连续函数．若有 |f（x+y)|≤F（f（x)，f（y))，x，y∈R1， 则f（
试证明：
设f(x)是R1上的实值可测函数，F(x，y)是R2上的连续函数．若有
|f(x+y)|≤F(f(x)，f(y))，x，y∈R1，
则f(x)在有界集上是有界函数．
第4题
设f(x)是(-∞，∞)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)≥a}总是一闭集.
设f（x)是（-∞，∞)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E={x|f（x)>a}是一开集，而E={x|f（x)≥a}总是一闭集.
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第5题
设f是定义在距离空间X上的实函数，证明f连续的充分必要条件是下列条件之一成立： （1)对任何实数α，{x:f（x)＞α}
设f是定义在距离空间X上的实函数，证明f连续的充分必要条件是下列条件之一成立：
(1)对任何实数α，{x:f(x)＞α}及{x:f(x)＜α}均为开集；
(2)对任何实数α，{x:f(x)≥α)及{x:f(x)≤α}均为开集。
第6题
试证明： 设F（x)，fn（x)（n∈N)是R1上的可测函数，且有|fn（x)|≤F（x)，a．e．x∈R1；又对任给ε＞0，均有 m（{x∈R1：F（x)＞
试证明：
设F(x)，fn(x)(n∈N)是R1上的可测函数，且有|fn(x)|≤F(x)，a．e．x∈R1；又对任给ε＞0，均有
m({x∈R1：F(x)＞ε})＜+∞.
若fn(x)在R1上几乎处处收敛于0，则fn(x)在R1上依测度收敛于0．
第7题
试证明： 设f∈C（R1)，g（x)是R1上的可测函数．若对任意的零测集Z，f-1（Z)是可测集，则g[f（x)]是可测函数．
试证明：
设f∈C(R1)，g(x)是R1上的可测函数．若对任意的零测集Z，f-1(Z)是可测集，则g[f(x)]是可测函数．
第8题
试证明： 设f（x)是定义在R1上的单调上升函数，则点集 E={x：对于任意的ε＞0，有f（x+ε)-f（x-ε)＞0} 是R1中的闭
试证明：
设f(x)是定义在R1上的单调上升函数，则点集
E={x：对于任意的ε＞0，有f(x+ε)-f(x-ε)＞0}
是R1中的闭集．
第9题
设f（x)是R1上的实值可测函数，试问是否存在g∈C（R1)，使得 m（{x∈R1:|f（x)-g（x)|＞0})=0？
设f(x)是R1上的实值可测函数，试问是否存在g∈C(R1)，使得
m({x∈R1:|f(x)-g(x)|＞0})=0？
第10题
设f（x)在I=（0，1)上实值可测，则存在唯一的t0∈R1，使得 （i)m（{x∈I：f（x)≥t0})≥1/2. （ii)对任给ε＞0，m（{x∈I：f（x
设f(x)在I=(0，1)上实值可测，则存在唯一的t0∈R1，使得
(i)m({x∈I：f(x)≥t0})≥1/2.
(ii)对任给ε＞0，m({x∈I：f(x)≥t0+ε})＜1/2．
