试证明:
设f(x)在R1上可微.若对任意的λ∈R1,点集F={x∈R1:f'(x)=λ)总是闭集,则f'(x)是连续函数.
设f(x)在R1上可微.若对任意的λ∈R1,点集F={x∈R1:f'(x)=λ)总是闭集,则f'(x)是连续函数.
设f:[a,b]→R1,作图形集Gf={(x,f(x)):x∈[a,b]}.若Gf是R2中的紧集(有界闭集),则f连续.(若Gf只是闭集,则结论不真,如f(x)=1/x(x≠0),f(0)=0.)
设定义在R2上的二元函数f(x,y)满足:
(i)任意固定y0∈R1,f(x,y0)是R1上的连续函数;
(ii)任意固定x0∈R1,f(x0,y)是R1上的连续函数;
(iii)对R2中的任一紧集K,f(K)是R1中的紧集,则f∈C(R2).
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集
Gf={(x,f(x)):x∈R1}
在R2中稠密.
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