设f是定义于E=[a,b]上的几乎处处有限的可测函数.证明:(1)定义于(-∞,∞).上的函数F:F(t)=m({x:f>t})是单调减少的右连续函数;(2)定义于[a,b]上的函数G:G(x)=sup{t|F(t)+a>x}对任何实数t,下式成立:m({x|G>t})=m({x|f>t}).
试证明:
设f(x)是定义在区间[a,b]上的单调函数,则f(x)是[a,b]上的可测函数.
设f(x,y)为定义在R2上的几乎处处有限的函数,它对每个固定的x关于y连续;且对每个固定的y关于x也连续。试证:f是R2上的可测函数。
试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)是(0,1)上几乎处处有限的可测函数,则存在{εn}:εn→0(n→∞),以及(0,1)上的可测函数F(x),使得
|fn(x)-f(x)|≤εnF(x),a.e.x∈(0,1).
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
试证明:
设{fk(x)}是E上非负实值可测函数列,m(E)<+∞,则存在正数列{ak}以及E上几乎处处有限的可测函数F(x),使得akfk(x)≤F(x),a.e.x∈E.
设f∈C([a,b]).若有定义在[a,b]上的函数g(x):g(x)=f(x),a.e.x∈[a,b],试问g(x)在[a,b]上必是几乎处处连续的吗?
设f是区间[A,B]上的有界实函数,则f在[A,B]上R可积,当且仅当f在[A,B]上几乎处处连续。()
试证明:
设f(x)在[a,b)上存在右导数,则右导函数f'+(x)是[a,b)上的可测函数.
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