假设有一个质量为m的粒子可以在一个长度为L的一维闭合区域自由运动(例如,一个小球在长度为L的

假设有一个质量为m的粒子可以在一个长度为L的一维闭合区域自由运动（例如,一个小球在长度为L的

圆环线上作无摩擦运动,见习题2.46).(a)证明定态可以写为

其中,n=0,1, 2,...,允许的能量为

注意,除了基态(n=0)之外,能量都是二重简并的.

(b)假设引入微扰:

其中,a＜＜L₀(这个微扰在势场x=0处加上了一个小凹槽,就像我们将线圈弯了一下,形成了一个小“陷阱”一样)利用式6.27给出E_n的一级修正.为了计算积分,需利用a＜＜L将极限从L/2扩展到∞;毕竟,H'在-a＜x＜a之外基本为零.

(c)ψa和ψ-a的“好"的线性组合是什么？证明基于这些态,你可以利用式6.9得出一级修正.

(d)找到一个满足定理的厄密算符A,并证明H₀和A的共同本征函数和我们在(c)中用过的一样.