设H(jω)是一个连续时间线性时不变系统的频率响应，并假定H(jω)是实偶函数且为正值。同时还假定(a

设H（jω)是一个连续时间线性时不变系统的频率响应，并假定H（jω)是实偶函数且为正值。同时还假定（a

设H(jω)是一个连续时间线性时不变系统的频率响应，并假定H(jω)是实偶函数且为正值。同时

还假定

(a)证明：(i)单位冲激响应h(t)是实的

(ii) max|lh(t) l|=h(0)

(b)在系统分析中，一个重要的概念是线性时不变系统的带宽。有几个不同的方式来定义带宽，但它们都与这样一个定性的和直观的概念有关， 即频率响应为G(jω) 的系统， 在G(j∞) 为零或较小的那些ω值上能基本“阻止”形式为ejωt的信号，而在G(jω)较大的频带内则能够让这些复指数信号“通过”，这一频带的宽度就是带宽。这些概念在第6章将变得更为清楚。但是现在将研究带宽的一种特殊定义，这个定义对于具有上面所规定的H(jω)特性的频率响应的系统是合适的。具体而言，这种系统的带宽B.的一种定义是，把高度为H(j0)的一个矩形的宽度作为带宽，该矩形的面积等于H(jω)下的面积。这可以用图4-17(a)说明。注意，由于H(j0) =maxH(jw) ， 因此图中所指出的位于频带内的那些频率就是H(jω) 最大的那些频率。在这个图中， 当然，宽度的严格选取是有点任意性的，但是已经选择了一种定义，就能够在不同的系统之间进行比较，并使时间和频率之间的一种很重要的关系更精确。频率响应为

的系统，其带宽为什么？

(c)求出用H(jω)表示带宽的表示式。

(d) 设s(t) 代表(a) 中所设定系统的阶跃响应。对一个系统的响应速率的重要度量是上升时间(rise time) 。

与带宽一样，上升时间也是一个定性概念，从而可能导致许多数学上不同的定义，在此将使用其中的一种。直观上看一个系统的上升时间是其阶跃响应从零上升到它的终值

有多快的一种度量。因而，上升时间越小，该系统的响应就越快。对于在本题中所考虑的系统，将上升时间t，定义为

因为

又因为有h(0) =maxh(t) 这一性质， 所以可以把tR看成这样一个时间， 即：在保持s(t) 的最大变化率的情况下，s(t)由零上升到s(∞)所需的时间，这就如图4-17(b)所说明的。求用H(jω)表示tR表达式。(e)将(c)和(d)的结果结合起来，证明：

因此，我们不能独立地既要求系统有一定的上升时间，又要求有一定的带宽。例如，如果要求一个快速响应的系统(tR小)，那么式(P4.49-1)就意味着该系统必须有较大的带宽。这是一个基本的折中关系，这一点在许多系统设计中是最为核心的问题。