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设E为直线R上的任一点集,称为集E的特征函数,证明:若E是可测集,则xE是直线R上的可测函数.
设E为直线R上的任一点集,称
为集E的特征函数,证明:若E是可测集,则xE是直线R上的可测函数.
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设E为直线R上的任一点集,称
为集E的特征函数,证明:若E是可测集,则xE是直线R上的可测函数.
证明f(x)为E上可测函数的充要条件是:对任一有理数r,集E(f>r)恒可测。如果假设对任一有理数r,集E(f=r)恒可测,问f(x)是否可测?
设f(x)是E上的可测函数,B是R中的博雷尔集。试证:f-1(B)是可测集。又当B是任意可测集时,f-1(B)是否仍可测?
设f与g都是可测集E上的可测函数,证明
E(f≥g)={x|f(x)≥g(x),x∈E}
也是可测集。
试证明:
设f(x)在E上非负可测,则点集
Y={y∈R1:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集.
设(X,R,μ)是全σ有限测度空间,f(x)是X上可积函数,集函数
ν(E)=∫EFdμ, E∈R
试证明:
设f(x)定义在可测集E上.若f2(x)在E上可测,且{x∈E:f(x)>0}是可测集,则f(x)在E上可测.
设f是可测集E上的可测函数,它使积分∫f(x)g(x)dm对任何g∈L2(E)都存在为有限。试证:f∈L2(E)。
A.A.φ(x)是E上的连续函数
B.B.φ(x)是E上的单调函数
C.C.φ(x)在E上一定不L可积
D.D.φ(x)是E上的可测函数
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