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提问人：网友anonymity 发布时间：2022-01-06

[主观题]

试作E=[0，1]上的可测函数f（x)，使对任何连续函数g（x)有mE（f≠g)≠0。此结果与鲁津定理有无矛盾？

试作E=[0，1]上的可测函数f(x)，使对任何连续函数g(x)有mE(f≠g)≠0。此结果与鲁津定理有无矛盾？

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第1题

试证明：

设f(x)是R¹上的实值可测函数，F(x，y)是R²上的连续函数．若有

|f(x+y)|≤F(f(x)，f(y))，x，y∈R¹，

则f(x)在有界集上是有界函数．

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第2题

下列集合中, 不是零测集的为

A、平面上的正方形区域 [0, 1]x[0, 1].

B、平面上的直线.

C、平面上的圆周.

D、平面上坐标均为有理数的点构成的子集.

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第3题

试证明：

设z=f(u，v)是R²上的连续函数，g₁(x)，g₂(x)是‍‍[a,b]‍‍上的实值可测函数，则F(x)=f(g₁(x)，g₂(x))是[a，b]上的可测函数．

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第4题

试证明：

设F(x)，f_n(x)(n∈N)是R¹上的可测函数，且有|f_n(x)|≤F(x)，a．e．x∈R¹；又对任给ε＞0，均有

m({x∈R¹：F(x)＞ε})＜+∞.

若f_n(x)在R¹上几乎处处收敛于0，则f_n(x)在R¹上依测度收敛于0．

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第5题

(1)鲁津定理中，将连续函数改为多项式，成立不成立？为什么？

(2)鲁津定理中，如果取ε=0，结论对不对？为什么？

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第6题

设f(x)是定义在区间[a，b]上的单调函数，则f(x)是[a，b]上的可测函数。

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第7题

试证明：

(卷积是连续函数) 设f∈L(Rⁿ)，g(x)在Rⁿ上有界可测，则F(x)=(f*g)(x)是R¹上的一致连续函数．

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第8题

试证明：

(L中无卷积单位) L(R¹)中不存在函数u(x)，使得对一切f∈L(R¹)，有

(u*f)(x)=f(x)， a．e．x∈R¹． (*)

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第9题

试证明：

设E₁，E₂是R²中的正测集，则存在h₀＞0，使得

m(E₁∩(E₂+{h₀}))＞0．

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第10题

试证明：

设f(x)，g(x)是E上的可测函数，m(E)＜+∞．若f(x)+g(y)在E×E上可积，则f∈L(E)，g∈L(E)

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