证明函数，在可测集E上可测的充要条件是对任意实数α，集合E（f＜α)可测。

试证明：

设f∈C(R¹)，g(x)是R¹上的可测函数．若对任意的零测集Z，f^-1(Z)是可测集，则g[f(x)]是可测函数．

设f是E上的可测函数，E₁是E的一个可测子集，证明f在E₁上也是可测函数

设f(x)是E上的可测函数，B是R中的博雷尔集。试证：f^-1(B)是可测集。又当B是任意可测集时，f^-1(B)是否仍可测？

设g(x)是E上的可测函数，若对任意的f∈L(E)，都有f·g∈L(E)，则除一个零测集Z外，g(x)是E\Z上的有界函数．

对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性。()

设f是可测空间X上的实函数，使对每个有理数r，(x:f(x)≥r}是可测的，证明f是可测的．

试证明：

若f(x)是Rⁿ上的可测函数，则f(x-y)是Rⁿ×Rⁿ上的可测函数．