令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA:V→V:对于任意X∈V=Mn(C),αA(X)=AX-AX。
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA:V→V:对于任意X∈V=Mn(C),αA(X)=AX-AX。
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
设是复数域上n维线性空间V的幂零线性变换,则在V中必存在一组基,使得在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵,且主对角线上的若尔当块的主对角元可以是任意复数。
数域K上n阶矩阵全体Mn(K)组成线性空间V,定义V上的变换:φ(x)=AXB,其中A,B是两个n阶矩阵.证明:
(1)φ是V上的线性变换.
(2)φ是线性同构的充要条件是A,B都是可逆的.
A.任意n阶实对称矩阵合同于n阶单位矩阵
B.任意n阶复对称矩阵合同于n阶单位矩阵
C.任意n阶正定矩阵合同于n阶单位矩阵
D.任意数域上的n阶对称矩阵都合同于n阶单位矩阵
设是实数域上n维线性空间V的基,A是n阶正定矩阵,则可以定义V的内积,使得V对这个内积作成欧氏空间,并且基的度量矩阵是A。
A、由形如,其中a,b是实数的三维向量所构成的集合,对于向量的加法与数量乘法作成实数域上的线性空间。
B、实数域对于本身的加法与乘法运算作成有理数域上的线性空间。
C、平面上全体向量所组成的集合,对于向量的加法与如下定义的数量乘法作成实数域上的线性空间。
D、全体n()阶实对称矩阵与反对称矩阵的集合,对于矩阵的加法与数量乘法作成实数域上的线性空间。
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