令证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得P^TAP=B。

设

(1)证明:P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间;

(2)求P的维数与基.

设n×r(r＜n)实矩阵A的秩为r，证明：存在n×(n-r)实矩阵B，使得[A，B]为n阶可逆方阵.

令域F的特征不是2,E是F的一个扩域，并且

(E:F)=4

证明，存在一个满足条件.的F的二次扩域I的充分与必要条件是: E=F(a)而a在F上的极小多项式是

x⁴+ax²+b

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

令Q(i)={a+bi｜a，b∈Q)，证明Q(i)是一个数域．

令F,I 和E是三个域并且.

假定，

(I:F)=m

而E的元a在F上的次数是n,并且(m,n)=1.

证明，α在I上的次数也是n.

令M_n(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令

证明：S和T都是M_n(F)的子空间，并且M_n(F)=S+T，S∩T={O}。

在实数域上，矩阵与合同。

设证明A与B相似，并求可逆矩阵P，使P^-1AB=B。

设A是数域P上的n阶可逆矩阵，证明以下条件等价：

(1)A与对角阵相似；

(2)A^-1与对角阵相似；

(3)A^*与对角阵相似，(A^*为A的伴随矩阵)．