试证明: 设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测
试证明:
设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.
试证明:
设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.
设fn(x)是[0,1]上的递增函数(n=1,2,…),且fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f(x),则在f(x)的连续点x=x0上,必有
fn(x0)→f(x0)(n→∞).
设F(x),fn(x)(n∈N)是R1上的可测函数,且有|fn(x)|≤F(x),a.e.x∈R1;又对任给ε>0,均有
m({x∈R1:F(x)>ε})<+∞.
若fn(x)在R1上几乎处处收敛于0,则fn(x)在R1上依测度收敛于0.
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
设f(x),fk(x)(k=1,2,…)是E上实值可测函数,若对任给ε>0,以及δ>0,存在E中可测子集e以及K,使得m(E\e)<δ,且有
|fk(x)-f(x)|<ε (k>K,x∈e).
试问这是哪种意义下的收敛?
设f(x),fn(x)(n∈N)是(0,1)上几乎处处有限的可测函数,则存在{εn}:εn→0(n→∞),以及(0,1)上的可测函数F(x),使得
|fn(x)-f(x)|≤εnF(x),a.e.x∈(0,1).
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