设A是复数域C上一个n阶矩阵。(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得(ii)对n作数学归纳法证明,复数域
设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。
设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。
设是复数域上n维线性空间V的幂零线性变换,则在V中必存在一组基,使得在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵,且主对角线上的若尔当块的主对角元可以是任意复数。
设A是数域P上的n阶可逆矩阵,证明以下条件等价:
(1)A与对角阵相似;
(2)A-1与对角阵相似;
(3)A*与对角阵相似,(A*为A的伴随矩阵).
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA:V→V:对于任意X∈V=Mn(C),αA(X)=AX-AX。
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
设A为n阶复方阵.证明:存在酉矩阵Q,使得Q-1AQ为对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵.
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