证明(l×p)×(l×p)=-ihlp2.
证明(l×p)×(l×p)=-ihlp2.
证明(l×p)×(l×p)=-ihlp2.
A=Axex+Ayey+Azez=Aαeα其中ex,ey,ez为x,y,z轴方向单位矢量,Ax等为算符或常量.α代表x,y,z分量之一.一项中下标重复出现时,要对它求和(遍及x,y,z).设A,B,C为矢量算符,试验证下列各式:
A·B=AαBα=AxBx+AyBy+AzBz(1)
A×B=εαβγAαBβeγ=εαβγeαAβBγ(2)
A·(B×C)=(A×B)·C=εαβγAαBβCγ(3)
[A×(B×C)]α=A·(BαC)-(A·B)Cα(4)
[(A×B)×C]α=A·(BαC)-Aα(B·C) (5)
其中εαβγ为Levi-Civita符号,即
εxyz=εyzx=εzxy=1
εxzy=εyxz=εzyx=-1 (6)
εαβγ=0, α,β,γ中有相同者
[Jα,Aβ]=iεαβγAr(取h=1) (1)
即
[Jx,Ax]=0,[Jx,Ay]=iAz等等.
(a)计算A×J+J×A
(b)计算[J,J·A],[J2,A]
(c)证明J×(J×A)=(J·A)J-J2A+iJ×A
(A×J)×J=J(A·J)-AJ2+iA×J
(d)证明[J2,[J2,A]]=2(J2A+AJ2)-4J(J·A)
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