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设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义
证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？
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设V=K4,如下定义V的二元函数f:
f(α,β)=x1y1+x2y2-x3y3-x4y4
其中
α=(x1,x2,x3,x4)，β=(y1,y2,y3,y4)
(1)证明:f是V上的一个双线性函数
(2)求f在基
η1=(2,1,-1,1)，η2=(0,2,1,0)
η3=(1,1,-2,1)，η4=(0,0,1,2)
下的度量矩阵
(3)找出一个满足f(α,α)=0的向量α≠0
设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是
求出σ的若尔当分解。
设
是数域P上n维线性空间V的线性变换，且
在V的一组基
下的矩阵是A，那么
可逆当且仅当（）。
A、
是双射。
B、A是可逆矩阵。
C、
线性无关。
D、对于V的任意n个向量
，都有
线性无关。
设
是实数域上n维线性空间V的基，A是n阶正定矩阵，则可以定义V的内积，使得V对这个内积作成欧氏空间，并且基的度量矩阵是A。
设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令
证明:(1)W⊥是V的线性子空间
(2)如果W∩W⊥={0},则V=W⊕W⊥
数域K上n阶矩阵全体Mn(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：
(1)φ是V上的线性变换．
(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．
设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．
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是数域P上2维线性空间V的线性变换，且
在V的一组基
下的矩阵是
，那么
在V的一组基
下的矩阵是（）。
是数域P上2维线性空间V的线性变换，且
在V的一组基
下的矩阵是
，那么
在V的另一组基
下的矩阵是（）。
是数域P上2维线性空间V的线性变换，且
在V的一组基
下的矩阵分别是
，
，那么
在V的这组基下的矩阵是（）。
