题目内容
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设A是复数域上的n级矩阵,并且A的元素全是实数。
证明:如果虛数λ0是A的一个特征值,α是A的属于λ0的一个特征向意,那么
也是A的一个特征值,且α是A的属于的一个特征向量。
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设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明：存在C上n阶可逆矩阵T，使得
(ii)对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似，这里主对角线以下的元素都是零。
设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．
设
是复数域上n维线性空间V的幂零线性变换，则在V中必存在一组基，使得在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，且主对角线上的若尔当块的主对角元可以是任意复数。
设正整数v,k,λ,n满足:
v＞k＞λ＞0,n=k-λ,λv=k2-n
设M是元素为0或1的v级矩阵。且M的每一行恰有k个元素是1，M的每两行的内积为λ。令H=MM'。证明:
(1)H=nI+λJ，其中I是v级单位矩阵,J是元索全为1的v级矩阵；
(2)在有理数域上,H≈I;
(3)在有理数域上
(4)在有理数域上
(5)在有理数域上
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合同。
