设{Ek}是Rn中的可测集列,若,试证明 .
设{Ek}是Rn中的可测集列,若,试证明
.
.[注] (i)令En=(0,2)(n是奇数),En=(1,3)(n是偶数),则,,且有
,.
(ii)令En=(0,1/n)×[0,n](n∈N),则有
, m(En)=1, ,
.
设{Ek}是Rn中的可测集列,若,试证明
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试证明:
设μ*是定义在Rn上的一种外测度,若任一Borel集都是μ*可测集,则μ*是距离外测度.
试证明:
设A,B,C是Rn中的可测集.若有m(A△B)=0,m(B△C)=0,则m(A△C)=0.
试证明:
设f(x),g(x)是Rn上的实值可测函数.
(i)则M(x)=max{f(x),g(x)},m(x)=min{f(x),g(x)}是可测函数.
(ii)若f(x)>0,则f(x)g(x)是可测函数.
试证明:
设f∈C(R1),g(x)是R1上的可测函数.若对任意的零测集Z,f-1(Z)是可测集,则g[f(x)]是可测函数.
试证明:
设f(x)是[a,b]上的有界函数,其不连续点集记为D.若D只有可列个极限点,则f(x)是[a,b]上的Riemann可积函数.
试证明:
设f(x)定义在可测集E上.若f2(x)在E上可测,且{x∈E:f(x)>0}是可测集,则f(x)在E上可测.
试证明:
(卷积是连续函数) 设f∈L(Rn),g(x)在Rn上有界可测,则F(x)=(f*g)(x)是R1上的一致连续函数.
设F1,F2是Rn中互不相交的闭集,试证明存在开集G1,G2,使得G1包含F1,G2包含F2,且G1∩G2=∅
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