设是布尔代数，证明对于B中任意元素a,b有以下命题成立.

设是两个布尔代数,并设f是从K到L的满同态，即对于任意的x.y∈K,有这里0_k.0_L和1_k,1_L分别是相应的布尔代数中的全上界和全下界。

设(R，*)是一个代数系统，*是R上一个二元运算，使得对于R中的任意元素x和y，都有x*y=x+y+x×y，证明：0是单位元，且(R，*)是独异点．

设(S，*)是一个半群，而且对于S中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠a*a，试证明：

(1)对于S中的每个元素a，有a*a=a；

(2)对于S中任意元素a，b，有a*b*a=a；

(3)对于S中任意元素a，b，c，有a*b*c=a*c．

设A，B，C为任意的命题公式，证明：等值关系有

(1)自反性：AA。

(2)对称性：若AB，则BA。

(3)传递性：若AB且BC，则AC。

设代数结构(A, * )和(B,*)中的运算都是2元的,在AXB上分别定义运算△如下：对于任意的，。

证明：(AXB,Δ)是代数结构。称为(A, * )和(B,*)中的积代数。

设(G，*)是群，如果对于G中任意元素a、b都有(a*b)²=a²*b²，证明(G，*)是阿贝尔群。

设K={1，2，5，10，11，22，55，110}是110的所有整因子的集合，证明：具有全上界110和全下界1的代数系统(K，GCD，LCM)是一个布尔代数．这里，对于任意的x∈K，110|x．

设(G，*)是群，如果对于群G中任意元素a、b都有(a*b)^-1=a^-1*b^-1，证明(G，*)是阿贝尔群。