设{α₁，α₂，···，α_n}是欧氏空间V的一个规范正交组，证明对于任意ξ∈V，以下不等式成立：

设{α₁，α₂，···，α_n}和{β₁，β₂，···，β_n}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。

(i)证明：存在V的一个正交变换σ，使σ(α_i)=β_i，i=1，2，...，n;

(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，···，τ(α_n)所生成的子空间与由β₂，···，β_n所生成的子空间重合。

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n(6-23)

则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

设{α₁，α₂，…，α_n}和{β₁，β₂，…，β_n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，τ(α₃)，…，τ(α_n)所生成的子空间与β₂，β₃，…，β_n所生成的子空间重合．

设ε₁，ε₂，ε₃是三维欧氏空间V的一组标准正交基，证明：也是V的一组标准正交基．

设α₁，α₂是欧氏空间V中两向量.证明：如果对任意α∈V，都有〈α₁，α〉=〈α₂，α〉，则α₁=α₂.

设e₁，e₂，…，e₅是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α₁，α₂，α₃所生成的V的子空间，其中α₁=e₁+e₅，α₂=e₁-e₂+e₄，α₃=2e₁+e₂+e₃.试求W的一个标准正交基.

设α，β是欧氏空间V中任意两向量，证明平行四边形定理

‖α+β‖²+‖α-β‖²=2(‖α‖²+‖β‖²)

设是n维欧氏空间V的正交变换，则在V的任一组基下的矩阵是正交矩阵。

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使

2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。