证明:如果A是n级斜对称实矩阵,那么e^A是正交矩阵。

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量a，β∈V。

证明：

(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件A^T=-A的矩阵叫作反对称矩阵);

(ii)反之，如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换;

(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零，或者是纯虚数。

设矩阵A=(a_ij)_n×n可逆的对称实矩阵. 证明: 二次型

(1)设A、C分别为阶实对称矩阵，B是实矩阵，

是正定矩阵(实)。证明:

等号当且仅当B=0时成立.

(2)设是n阶实矩阵，

求证:

A.Ea正＜Ea逆

B.Ea正＞Ea逆

C.Ea正＝Ea逆

D.三种都可能